2021年山东省高考数学试卷(含答案)(新高考ⅰ)

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该圆锥的母线 分)下列区间中,函数 f(x)=7sin(x﹣ )单调递增的区

7.(5 分)若过点(a,b)可以作曲线 y=ex 的两条切线,则( )

8.(5 分)有 6 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中

二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出

9.(5 分)有一组样本数据 x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本

10.(5 分)已知 O 为坐标原点,点 P1(cosα,sinα),P2(cosβ,﹣

A.当 λ=1 时,△AB1P 的周长为定值 B.当 μ=1 时,三棱锥 P﹣A1BC 的体积为定值 C.当 λ= 时,有且仅有一个点 P,使得 A1P⊥BP D.当 μ= 时,有且仅有一个点 P,使得 A1B⊥平面 AB1P

13.(5 分)已知函数 f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数,则 a=

⊥OP.若FQ=6,则 C 的准线 分)函数 f(x)=2x﹣1﹣2lnx 的最小值为 .

四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。

(1)记 bn=a2n,写出 b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前 20 项和. 18.(12 分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有 A,B 两类问题.每 位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个 问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一 类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学 比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分,否则得 0 分; B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分,否则得 0 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8,能正确回答 B 类问题 的概率为 0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答 A 类问题,记 X 为小明的累计得分,求 X 的 分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并 说明理由. 19.(12 分)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 知 b2=ac,点 D 在边 AC 上,BDsin∠ABC=asinC. (1)证明:BD=b;

AB=AD,O 为 BD 的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD 是边长为 1 的等边三角形,点 E 在棱 AD 上,DE =2EA,且二面角 E﹣BC﹣D 的大小为 45°,求三棱锥 A﹣BCD 的体积.

21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F1(﹣ ,0),F2 ( ,0),点 M 满足MF1﹣MF2=2.记 M 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程; (2)设点 T 在直线 x= 上,过 T 的两条直线分别交 C 于 A,B 两点和 P,Q 两点,且TA•TB=TP•TQ,求直线 AB 的斜率与 直线 PQ 的斜率之和.

22.(12 分)已知函数 f(x)=x(1﹣lnx). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 a,b 为两个不相等的正数,且 blna﹣alnb=a﹣b,证明: 2< <e.

一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出

故选:C. 点拨:本题主要考查同角三角函数基本关系,三角函数式的求值等 知识,sin2Acos2A=1 是解题的关键,属于中等题. 7. 参:函数 y=ex 是增函数,y′=ex>0 恒成立, 函数的图象如图,y>0,即切点坐标在 x 轴上方, 如果(a,b)在 x 轴下方,连线,不成立. 点(a,b)在 x 轴或下方时,只有一条切线. 如果(a,b)在曲线上,只有一条切线; (a,b)在曲线上侧,没有切线; 由图象可知(a,b)在图象的下方,并且在 x 轴上方时,有两条切 线<b<ea. 故选:D.

点拨:本题考查曲线与方程的应用,函数的单调性以及切线的关系, 考查数形结合思想,是中档题. 8. 参:由题意可知,两点数和为 8 的所有可能为:(2,6), (3,5),(4,4),(5,3),(6,2),

两点数和为 7 的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),

A:P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), B:P(甲丁)= =P(甲)P(丁), C:P(乙丙)= ≠P(乙)P(丙),

D:P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁), 故选:B. 点拨:本题考查相互独立事件的应用,要求能够列举出所有事件和 发生事件的个数,属于中档题. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出 的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。 9. 参:对于 A,两组数据的平均数的差为 c,故 A 错误; 对于 B,两组样本数据的样本中位数的差是 c,故 B 错误; 对于 C,∵标准差 D(yi)=D(xic)=D(xi), ∴两组样本数据的样本标准差相同,故 C 正确; 对于 D,∵yi=xic(i=1,2,…,n),c 为非零常数, x 的极差为 xmax﹣xmin,y 的极差为(xmaxc)﹣(xminc)=xmax ﹣xmin, ∴两组样本数据的样本极差相同,故 D 正确.

故选:CD. 点拨:本题考查命题真假的判断,考查平均数、中位数、标准差、

故点 P 在线BC, 所以直线BC 的距离相等, 又△A1BC 的面积为定值, 所以三棱锥 P﹣A1BC 的体积为定值,故选项 B 正确;

又 AD1∩AB1=A,AD1,AB1⊂平面 AB1D1,所以 A1B⊥平面 AB1D1, 因为过定点 A 与定直线B 垂直的平面有且只有一个, 故有且仅有一个点 P,使得 A1B⊥平面 AB1P,故选项 D 正确.

故选:BD. 点拨:本题考查了动点轨迹,线面平行与线面垂直的判定,锥体的 体积问题等,综合性强,考查了逻辑推理能力与空间想象能力,属 于难题. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 参:函数 f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数, y=x3 为 R 上的奇函数, 故 y=a•2x﹣2﹣x 也为 R 上的奇函数, 所以 yx=0=a•20﹣20=a﹣1=0, 所以 a=1. 法二:因为函数 f(x)=x3(a•2x﹣2﹣x)是偶函数, 所以 f(﹣x)=f(x), 即﹣x3(a•2﹣x﹣2x)=x3(a•2x﹣2﹣x), 即 x3(a•2x﹣2﹣x)x3(a•2﹣x﹣2x)=0,

即(a﹣1)(2x﹣2﹣x)x3=0, 所以 a=1. 故答案为:1. 点拨:本题主要考查利用函数奇偶性的应用,考查计算能力,属于

基础题. 14. 参:由题意,不妨设 P 在第一象限,则 P( ,p),kOP

∴当 x=1 时 f(x)取得最小值为 f(1)=2×1﹣1﹣2ln1=1.

点拨:本题考查数列的求和,考查数学知识在生活中的具体运用, 考查运算求解能力及应用意识,属于中档题. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。

(2)法一:由(1)知 BD=b, ∵AD=2DC,∴AD= ,DC= ,

点拨:本题考查正弦定理及余弦定理的内容,是一道好题. 20. 参:(1)证明:因为 AB=AD,O 为 BD 的中点,所以

点拨:本题考查了面面垂直和线面垂直的性质,在求解有关空间角 问题的时候,一般要建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转 化为空间向量问题,属于中档题.

22.【解答】(1)解:由函数的解析式可得 f(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,

由(1)f(x)在(0,1)单调递增,在(1,∞)单调递减, 所以 f(x)max=f(1)=1,且 f(e)=0, 令,,

则 x1,x2 为 f(x)=k 的两根,其中 k∈(0,1). 不妨令 x1∈(0,1),x2∈(1,e),则 2﹣x1>1, 先证 2<x1x2,即证 x2>2﹣x1,即证 f(x2)=f(x1)<f(2﹣x1), 令 h(x)=f(x)﹣f(2﹣x), 则 h′(x)=f′(x)f′(2﹣x)=﹣lnx﹣ln(2﹣x)=﹣ln[x (2﹣x)]在(0,1)单调递减, 所以 h′(x)>h′(1)=0, 故函数 h(x)在(0,1)单调递增, ∴h(x1)<h(1)=0.∴f(x1)<f(2﹣x1),∴2<x1x2,得证. 同理,要证 x1x2<e, (法一)即证 1<x2<e﹣x1, 根据(1)中 f(x)单调性, 即证 f(x2)=f(x1)>f(e﹣x1), 令 φ(x)=f(x)﹣f(e﹣x),x∈(0,1), 则 φ(x)=﹣ln[x(e﹣x)],令 φ′(x0)=0, x∈(0,x0),φ(x)>0,φ(x)单调递增, x∈(x0,1),φ(x)<0,φ(x)单调递减, 又 0<x<e 时,f(x)>0,且 f(e)=0,

φ(1)=f(1)﹣f(e﹣1)>0, ∴φ(x)>0 恒成立, x1x2<e 得证, (法二)f(x1)=f(x2),x1(1﹣lnx1)=x2(1﹣lnx2), 又 x1∈(0,1),故 1﹣lnx1>1,x1(1﹣lnx1)>x1, 故 x1x2<x1(1﹣lnx1)x2=x2(1﹣lnx2)x2,x2∈(1,e), 令 g(x)=x(1﹣lnx)x,g′(x)=1﹣lnx,x∈(1,e), 在(1,e)上,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以 g(x)<g(e)=e, 即 x2(1﹣lnx2)x2<e,所以 x1x2<e,得证, 则 2< <e. 点拨:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,利用导数研究极 值点偏移问题,等价转化的数学思想,同构的数学思想等知识,属 于难题.

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